上篇博客我们了解了AVL树,这篇博客就让我们来看看另外一个二叉树:红黑树

使用的编译器:VS2019

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博客里面引用了一些百度搜到的图片(自己懒的画了,呜呜)

1.概念

AVL树是一个几乎完全平衡的搜素二叉树,其左右子树的高度差不会超过1。与之相对应的,是每一次插入都有可能需要旋转多次,插入的效率较低。

而红黑树则选择了“相对平衡”,并拥有以下的特性:

  • 红黑树可以保证最长路径的小于最短路径的2倍

  • 比如最短路径为30,那么最长路径就不能超过60

对于cpu来说,AVL树遍历20次(百万级数据)和红黑树遍历40次的时间差距极小。所以红黑树即保持了相对平衡,又减小了AVL树多次旋转的消耗。

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1.1 性质

其通过下面的几点来维持这一性质:

  1. 每一个节点不是红色就是黑色
  2. 根节点一定是黑色
  3. 每一个红节点的左右子树都是黑色
  4. 每一个到叶子(空节点NIL)的支路上黑节点数量相同
  5. 叶子节点(空节点NIL)视作黑色

为什么满足了这几个情况,就满足了红黑树的最长路径的小于最短路径的2倍的性质呢?

约束4和5,保证了红黑树的大致平衡:根到叶子的所有路径中,最长路径不会超过最短路径的2倍。

这使得红黑树在最坏的情况下,也能有O(logN) 的查找效率

  • 黑色高度为3时,最短路径:黑色→ 黑色 →黑色
  • 最长路径:黑色→红色 →黑色 →红色 →黑色
  • 此时最短路径的长度为2(不算Nil的叶子节点),最长路径为4

这里可以得出一个普遍规律,红黑树最短路径即为全黑路径。而最长路径是一黑一红间隔的情况

1.2 时间复杂度

平衡二叉树(AVL树)和红黑树都是常用的自平衡二叉搜索树。它们的查询操作的平均时间复杂度都为O(log n),其中n是树中节点的数量。

在平衡二叉树中,任意节点的左子树和右子树的高度差不超过1,通过局部旋转操作可以保持平衡。这样,树的高度始终保持在O(log n)的水平,从而使得查询操作的时间复杂度为O(log n)

根据上文提到的红黑树性质,红黑树的高度也会始终保持在O(log n)的水平,因此查询操作的时间复杂度也为O(log n)。实际上,红黑树的增删改时间复杂度都是O(log n),因为本质上都是一次查找找到目标节点的位置,再进行常数级别的翻转/删除操作。

2.设计一颗红黑树

在设计红黑树的时候,我们需要牢记上面的5点。其中前4点非常重要且不可以被破坏。一旦被破坏,就影响了红黑树的基本性质。

2.1 设计节点

和AVL树一样,我们需要把节点单独成一个类,来存放我们需要的pair

这里就设计到了颜色的初值应该给什么。红色,还是黑色

来看看性质3和4:

  • 红色的左右子树必须是黑色
  • 每一个到叶子(空节点NIL)的支路上黑节点数量相同

简单思考,即可发现,插入红节点的时候,更好控制。而插入黑节点极有可能破坏性质4且较难修复。

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//枚举,定义颜色
enum Color
{
RED,//0
BLACK,//1
};


//节点类
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;

//AVL树的平衡因子,在红黑树中为颜色
Color _col;
//插入节点的时候,默认为红色
//因为这个满足性质3且不会破坏性质4
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv),
_left(nullptr),
_right(nullptr),
_parent(nullptr),
_col(RED)
{}
};

2.2 插入的几种情况

节点设计好了,我们只需要把插入的逻辑搞定,那么红黑树也就完成了!

前半部分的代码和AVL树完全相同,只不过我们需要手动给根节点一个黑色(默认是红色)以维持性质2

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bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
//判断root为空,即空树
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;//这里必须要手动给黑色
return true;
}
//kv树的操作
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
//利用key来判断,寻找待插入的位置
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false;
}
}
//找到位置后插入节点
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
//调整
//……
}

2.2.1 情况1:无需旋转

在下面的这种情况中,我们在p的左边插入了一个cur新节点。此时违反了性质3,红节点的孩子必须要是黑节点。

这种情况必须满足p和u都是红节点

image-20220904170205412

随后我们就需要开始向上进行更新,操作如下:

  • 把p和u都改成黑节点
  • 把g改成红节点

修改之后的结果如下,即不影响性质3;也保证了黑节点的个数不变,维持了性质4

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需要注意的是,这里的g不一定是根节点。所以在操作完这一课子树之后,我们需要继续向上进行操作,避免g的父节点是红色的情况。

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代码实现如下(以父节点为g的左子树为例)

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//插入之后需要向上更新颜色,只有出现连续红色之后才需要更新
while (parent && parent->_col==RED)
{
//p是g的左
if (parent == grandpa->_left)
{
Node* uncle = grandpa->_right;
//情况1:插入后p是红,u存在且是红(不需要旋转)
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
uncle->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
grandpa->_col = RED;//祖父变成红
//继续向上调整
//cur = cur->_parent;
//parent = parent->_parent;
cur = grandpa;
parent = cur->_parent;
}
}
else{
//....
}
}

需要注意的是,这种调整会把g改成红节点。如果G是根节点,改成红色之后就不符合性质了。所以我们需要在操作完成之后,统一把根节点改成黑色

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//不管是什么情况,最后都把根改成黑,符合条件2
_root->_col = BLACK;

2.2.2 情况2:需要单旋

当我们插入了一个cur向上更新的时候,就可能会遇到下图中间的情况。p是红节点,违反了性质3,而u是黑节点,不能简单粗暴的通过把p改成红来解决。

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这时候我们就需要针对g进行一次单旋(图中是右单旋,可以简单理解为向u旋转)。因为cur和p形成了同侧的连续两个红节点。和AVL树的单旋情况相似,只有这两节点在同侧,才可以执行单旋。

旋转完毕之后,需要把g更新为红节点,p更新为黑节点

2.2.3 情况3:需要双旋

在情况2中,p和cur都是在它们父亲的同一侧。而情况3就是p和cur在父亲的不同侧。

  • 比如p是g的左子树,cur是p的右子树
  • 同时满足p是红,u是黑

这时候就需要进行一次三旋,操作如下:

  • 以p作为基点,向cur的另外一个方向单旋一次(上图中就是左旋)
  • 旋转了之后,就会变成情况2
  • 这时候再以g为基点,向u的方向旋转一次(上图中为右旋)
  • 旋转完成之后,把g设置为红,cur设置为黑即可

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一下是完整的三种情况代码(p是g的左子树的情况)

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//p是g的左
if (parent == grandpa->_left)
{
Node* uncle = grandpa->_right;
//情况1:插入后p是红,u存在且是红(不需要旋转)
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
uncle->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
grandpa->_col = RED;//祖父变成红
//继续向上调整
//cur = cur->_parent;
//parent = parent->_parent;
cur = grandpa;
parent = cur->_parent;
}
else//(uncle && uncle->_col == BLACK)
{
//情况2:插入后p为红,u存在且为黑(需要单旋)
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(grandpa);//因为p在g的左边,所以右旋
parent->_col = BLACK;
grandpa->_col = RED;
}
else//cur == parent->_right
{
//情况3:不是在同一侧,双旋
// g
// p
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandpa);
grandpa->_col = RED;//祖父改成红色
cur->_col = BLACK;//自己成为了这里的根,需要改成黑的
}
break;
}
}
else{
//....
}

由于篇幅限制,p是g右子树的情况就不贴出来了,实际上就是把上面的代码全反过来就行了

完整代码请查看我的gitee仓库

2.3 查找(和AVL树完全相同)

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//因为kvl树我们需要修改value,所以返回节点的指针
Node* _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;

if (root->_kv.first < key)
{
return _FindR(root->_right, key);
}
else if (root->_kv.first > key)
{
return _FindR(root->_left, key);
}
else
{
return root;
}
}
//查找是通过key来进行的
Node* FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root, key);
}

2.4 判断是否是红黑树

有两种方案,1是可以通过计算最大高度/最小高度进行间接判断,2是以红黑树性质来验证是否满足最上面提到的5点

2.4.1 计算最小最大高度

这里实现递归即可,最小长度其实就是在最后return的判断中,把大于号改成小于号,返回小的那个子树的高度+1

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int maxHeight(){
return _maxHeight(_root);
}
int minHeight() {
return _minHeight(_root);
}

//最大长度
int _maxHeight(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;

int lh = _maxHeight(root->_left);
int rh = _maxHeight(root->_right);

return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
//最小长度
int _minHeight(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;

int lh = _minHeight(root->_left);
int rh = _minHeight(root->_right);

return lh < rh ? lh + 1 : rh + 1;
}

只要最大长度小于最小长度的2倍,那么基本规则就是没有破坏的

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但这还不够,我们还需要检查它是否满足红黑树的其余性质

2.4.2 递归检查性质

这里再次列出5点性质

  1. 每一个节点不是红色就是黑色
  2. 根节点一定是黑色
  3. 每一个红节点的左右子树都是黑色
  4. 每一个到叶子(空节点NIL)的支路上黑节点数量相同
  5. 叶子节点(空节点NIL)视作黑色

然后通过两个函数来实现,其中一个函数需要进行递归

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bool IsRBTree()
{
//检查红黑树几条规则
Node* pRoot = _root;
//空树也是红黑树
if (nullptr == pRoot)
return true;

//检测根节点是否满足情况2
if (BLACK != pRoot->_col)
{
cout << "违反2:根节点必须为黑色" << endl;
return false;
}

//获取任意一条路径中黑色节点的个数,作为基准值
size_t blackCount = 0;
Node* pCur = pRoot;
while (pCur)
{
if (BLACK == pCur->_col)
blackCount++;

pCur = pCur->_left;
}

//检测是否满足红黑树的性质,k用来记录路径中黑色节点的个数
size_t k = 0;
return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
//检测是否为RB树
bool _IsValidRBTree(Node* pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{
//走到null之后,判断k和black是否相等
if (nullptr == pRoot)
{
if (k != blackCount)
{
cout << "违反4:每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
return false;
}
return true;
}

//统计黑色节点的个数
if (BLACK == pRoot->_col)
k++;

//检测当前节点与其双亲是否都为红色
if (RED == pRoot->_col && pRoot->_parent && pRoot->_parent->_col == RED)
{
cout << "违反3:存在连在一起的红色节点" << endl;
return false;
}

return _IsValidRBTree(pRoot->_left, k, blackCount) &&
_IsValidRBTree(pRoot->_right, k, blackCount);
}

可以看到,不管是随机数还是顺序插入,都通过了检查

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3.红黑树的运用

红黑树在很多地方都有使用,在C++中,最为经典的便是map和set这两个容器,它们便使用了红黑树作为底层逻辑

https://gitee.com/musnow/learn_cpp_code/blob/master/STL-Sourcecode/stl_tree.h

在stl源码中,我们可以找到这个tree.h,里面便是一个红黑树的实现。而map和set就是调用了红黑树,只做了一个简单的封装

结语

在下篇博客中,我会记录map和set的基本使用,以及通过红黑树模拟实现map和set

感谢大家支持!